Introduzione
La natura parla la lingua della matematica. (Galileo Galilei)
Utilizzo di catenarie in note opere architettoniche.
Una catenaria è la forma che assume un catena sottomessa al proprio peso quando è sospesa tra due. Questa forma è descritta da una funzione matematica scoperta da Huygens ( matematico, astronomo e fisico olandese) che le diede questo nome nel 1691.
Curva Catenaria
La curva catenaria è definita come forma piana che assomiglia, ma solo apparentemente, ad una parabola, e ha l'andamento caratteristico di una fune omogenea, flessibile ma non estensibile, con gli estremi vincolati e lasciata pendere rimanendo soggetta solo al proprio peso.
L'equazione di una catenaria è la seguente:
\(
y=a.cosh\frac{x}{a}
\)
Dove a è un parametro e cosh è la funzione coseno iperbolico, oppure:
\(
y=\frac{a}{2}.(e^\frac{x}{a}+e^\frac{-x}{a})
\)
Catenaria Vindex
Una catenaria vindex è, semplicemente, una catenaria rovescia e quindi ha una struttura rigida.
L'equazione di una catenaria vindex è la seguente:
\(
y=h+a-\frac{a}{2}.(e^\frac{x}{a}+e^\frac{-x}{a})
\)
Dove h è l'altezza e a è un parametro.
Uso delle Catenarie in Architettura
La forma catenaria è stata spesso utilizzata in architettura molto prima di conoscere la sua formula e tutte le sue caratteristiche. In effetti la sua forma naturale le conferisce una rara semplicità ed eleganza formale, perciò fu utilizzata in architettura.
Le dune di sabbia ed i fili di una ragnatela si dispongono liberamente secondo il principio della minima energia e quindi assumono, appunto, la forma di una catenaria.
Oltre le sue notevoli qualità formali, la catenaria permette di realizzare opere intrinsecamente molto solide, facili da calcolare visto che si tratta di verifiche solo a compressione, con la possibilità di avere una struttura autoportante durante la costruzione.
Gaudì fece ampio uso delle catenarie nelle sue architetture e si servì di modellini.
Caratteristiche
La forma catenaria consente una omogenea redistribuzione del carico. Così, a differenza di altri tipi di archi, non necessita di contrafforti o di altri elementi di supporto.
Questo fatto è dovuto proprio alla forma geometrica della catenaria che è la sua caratteristica più importante. In una sezione di una struttura a forma di catenaria, il baricentro delle masse, il baricentro delle rigidezze e quello delle forze coincidono. Di conseguenza tutte le forze interne sono di trazione, come nel caso di una fune, oppure di compressione quando si tratta di un ponte, un arco, una volta oppure una cupola.
Il fatto di avere due o più curve catenarie vindex che abbiano diametri diversi ma la stessa altezza, oppure lo stesso diametro con altezze diverse, offre una grande flessibilità per creare una grande varietà di combinazioni di cupole vindex di varie dimensioni.
Due catenarie vindex con diametri diversi ma con la stessa altezza.
Due catenarie vindex con altezze diverse ma con lo stess diametro.